Родился 14 февраля 1962 года в Гомеле Белорусской ССР.С детства активно занимался настольным теннисом, борьбой и велоспортом, а последние пять лет учебы в школе — академической греблей и в 1978 году стал чемпионом Белорусской ССР в этом виде спорта. Желая пойти по стопам старшего брата, собирался поступать в Гомельский университет на физкультурный факультет, однако намерение это не реализовал, увлекшись в старших классах школьной театральной самодеятельностью. Отправившись за компанию с другом в Москву, с первого раза поступил в ГИТИС, на курс к Иосифу Туманову, хотя, по большому счету, на поступление не рассчитывал и до сих пор считает это событие случайностью.

Летом 1981 года, когда И. Туманов скончался, новоиспеченных третьекурсников принял под свое крыло Борис Голубовский, в то время главный режиссер московского Театра им. Н.В. Гоголя. Тогда же состоялась встреча Александра с Анатолием Эфросом, поставившим на курсе дипломный спектакль по пьесе Кроммелинка «Холодно и горячо, или Идеи господина Дома» и занявшим молодого артиста в одной из ролей. А незадолго до окончания вуза Александр снялся в первой своей кинокартине — «Семеро солдатиков».

Сразу по окончании ГИТИСа Александр был приглашен в труппу Театра сатиры его художественным руководителем Валентином Плучеком, однако в силу причин бытового характера (отсутствие своего жилья и московской прописки) приход актера в этот театр не состоялся. Вместо этого он был призван в армию: попал сначала в ансамбль Московского военного округа, где занимался конферансом и пел в хоре, а затем служил в Кантемировской дивизии, играя в оркестре на трубе.

Когда подошел к концу срок службы, Александр, получив заветную столичную прописку, напомнил о себе Плучеку, но тот, по неизвестным для актера причинам, в театр его не взял.

Для Александра начался непростой период, когда он обивал пороги различных театров в поисках работы, а сам в это время был дворником. Только через полтора года ему удалось устроиться в Московский областной театр драмы, прослужить в котором ему было суждено недолго. И снова актер работал где придется: дворником, грузчиком, фотографом, каскадером, — пока, наконец, осенью 1988 года не попал на спектакль «Полоумный Журден» Театра-студии Олега Табакова.

Увиденное Александру очень понравилось, и он понял, что хочет работать именно здесь, в открывшемся недавно театре. Обо всем этом он рассказал при встрече самому Олегу Табакову. 1 января 1989 года Александра приняли в труппу Театра-студии.

Первой работой актера в Подвале стала роль Бородкина-старшего в «Затоваренной бочкотаре», ставил которую Евгений Каменькович. Далее последовали роли в «Крыше», эпизоды в «Матросской тишине», «Дыре» и «Кастручче». После небольшого затишья, случившегося в первой половине 90-х, во время которого новых работ у Александра не было, он сыграл роли в трех спектаклях Андрея Житинкина, поставленных на сцене Театра Табакова, затем принял участие в большинстве спектаклей, поставленных Миндаугасом Карбаускисом.

Актер был занят во многих спектаклях-долгожителях Театра Табакова, таких, как «Страсти по Бумбарашу», «Псих», «Признания авантюриста Феликса Круля», ставших важной вехой в истории «Табакерки». До сих пор идут не теряющие популярности у зрителей «Два ангела, четыре человека», «Рассказ о счастливой Москве» и «Лицедей», представить которые без Александра Воробьева невозможно.

В 2000 году Александру было присвоено звание заслуженного артиста России. В 2004 и 2008 годах спектакли «Рассказ о семи повешенных» и «Рассказ о счастливой Москве», в которых был занят актер, удостоились премии «Золотая маска».

Александр снялся более чем в 50 фильмах. Самыми заметными из его работ в последнее время стали роли в теле- и кинофильмах «Участок», «Лето волков», «Исчезнувшие», «День дурака», «Громовы. Дом Надежды».

Скончался 15 января 2021г.