Родился 29 июля 1987 года в Ростове-на-Дону, откуда его семья вскоре перебралась в Камышин. Мать Вячеслава одиннадцать лет проработала актрисой в Камышинском драматическом театре, и ее увлечение сценой передалось сыну. По окончании школы Вячеслав отправился в Саратов и поступил на театральный факультет местной консерватории. Учителем Вячеслава стал Александр Галко.

В 2008 году студенту Чепурченко была присуждена именная стипендия Олега Табакова. Ее Олег Павлович, который, как известно, сам родом из Саратова, учредил специально для самых талантливых саратовских актеров — студентов театрального факультета. Спустя год Вячеслав был принят в труппу «Табакерки».

Первой его работой на сцене «подвального» театра стала небольшая роль Славика в спектакле Константина Богомолова «Волки и овцы». Весной следующего года Вячеслав предстал перед зрителями в главной роли, сыграв Феликса Круля в возрожденном Андреем Житинкиным спектакле «Признания авантюриста Феликса Круля».

После «Волков и овец» продолжилось сотрудничество актера с режиссером Богомоловым: он сыграл в его спектаклях Wonderland-80, «Безумный день, или Женитьба Фигаро» и «Год, когда я не родился».

В 2012 году началось плодотворное сотрудничество актера с режиссером Александром Мариным, принесшее ему роли в спектаклях по произведениям Чехова, Флобера, Володина и Шекспира.

В том же году Вячеслав дебютировал в кино, сыграв одну из ролей в проекте «Моими глазами». В настоящий момент актер известен кино- и телезрителям благодаря работам в картинах «Молодая гвардия», «Измены», «Эти глаза напротив», «Город», «Сколько живет любовь», «Чума!».